如何用经典力学计算抗磁矩？《张朝阳的物理课》介绍正常Zeeman效应 ...

原标题：如何用经典力学计算抗磁矩？《张朝阳的物理课》介绍正常Zeeman效应
                          如何用经典力学计算抗磁矩？光谱分裂的原因有哪些？10月30日12时，《张朝阳的物理课》第九十七期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间，利用法拉第电磁感应定律定量地计算出抗磁矩的表达式，随后离开经典力学走向量子力学，先是简单复习了钠原子的核外电子排布，接着利用坐标系变换的方式引入自旋轨道耦合，阐明光谱双线结构的成因。之后考虑存在强磁场的情况，分析包含磁矩与外磁场相互作用的完整哈密顿量并求得其能级，根据能级的分裂解释正常Zeeman效应的原理。

法拉第电磁感应定律计算抗磁矩
在上节直播课程中，张朝阳利用法拉第电磁感应定律定性讲解了抗磁性的原理，这节课进一步定量地计算出感生抗磁矩。把原子中绕原子核运动的电子等效成电流，假设一开始电流与外磁场B都为0，在时间t=0～T内将匀强磁场B(t)从0增大到B，根据麦克斯韦方程组中关于电场旋度的方程（或法拉第电磁感应定律），变化的磁场会产生电场：

将上式对电流环包围的面积进行积分，并结合斯托克斯公式得到电场的在电流上的环路积分为：

设环路上的平均电场为E，那么上式最左边的项可写成：

由于电流环路是固定不动的，并且外磁场是空间上的匀强磁场B(t)，所以可以将磁场变化率的面积分项写成：

利用电场的环路积分结果，与磁场变化率面积分的结果，可以得到平均电场E的表达式：

由库伦定律F=qE可知，原本静止的电子会因为受到电场力运动起来，设经过T时间后电子获得速度v，那么由冲量定理可以计算出T时刻的电子动量：

其中m是电子的质量。将上式两边除以电子质量得到速度v的表达式：

在之前的课程中已经求出运动的电子等效电流为I=qv/(2πr），那么对应的磁矩为：

将速度的具体表达式代入上述磁矩公式得到：

负号“-”代表感生磁矩方向与外磁场B的方向相反，体现出抗磁性。
上述分析只对某一平面的环形等效电流进行分析，设磁场B平行于z轴，那么等效电流环处在xy平面，r相当于柱坐标半径r，r^2可以用直角坐标写成：

如果考虑的是球对称原子，那么可以用球坐标半径R来表示抗磁矩，R^2可以用直角坐标写成：

由于考虑的是球对称性原子，那么将直角坐标进行平均可得：

所以可以将r^2的平均与R^2的平均有如下关系：

最终，抗磁矩的表达式可写成：

这里用的是纯粹经典的角度来分析的，得到的抗磁矩公式与用量子力学得到的结果一致。
（张朝阳利用法拉第定律计算抗磁矩）
自旋轨道耦合导致光谱双线结构
上节直播课程主要针对自旋磁矩产生的效应进行分析，而上面的计算则是针对轨道磁矩进行的，自旋磁矩与轨道磁矩看似相互独立，但实际上它们之间还存在一种神奇的相互作用，接下来会分析这种相互作用带来的物理现象。
在之前量子力学课程中，利用泡利不相容原理、洪特规则以及半径分析，钠（Na）原子的电子结构已经被定性地讲解过。钠原子有11个电子，第一壳层1s态填2个电子，第二壳层2s态填2个电子，2p态填6个电子，至此这10个电子将第一壳层与第二壳层完全填满，电子自旋两两配对，并且波函数具有球对称性，轨道角动量为零，所以第一第二壳层电子的总角动量为零，于是Na的总角动量由最外层电子的状态决定。
最外层电子处在第三壳层，由于壳层半径之间的距离较大，所以第三壳层的电子感受到的原子核的正电荷被内层电子强烈屏蔽，即它感受到的有效电荷量近似为1，于是可以用类似氢原子的方法进行处理，将Na的最外层电子轨道近似为氢原子第三壳层n=3的轨道，这时电子轨道的径向波函数具有如下形式：

其中，l是轨道角动量量子数，而这里n=3 。
对于3s轨道，角动量l=0，对应的径向波函数具有形式：

这个函数有三个波峰，其中两个波峰深入到第一壳层与第二壳层内。
对于3p轨道，角动量l=1，对应的径向波函数具有形式：

这个函数只有两个波峰，只有一个波峰嵌入到第一壳层与第二壳层内。
综上，相比3p轨道，3s轨道由于有更多的概率处在内层的未完全屏蔽区域，它所感受到的有效电荷要比3p轨道感受到的有效电荷更大，对应的能级就越低，所以原本在氢原子中简并的3s能级与3p能级在钠原子中变得不简并了，3p能级略微比3s能级更高。于是，当最外层电子从较高的3p能级跃迁到3s能级时，Na会发出黄光。
3s与3p轨道除了能级上的不同，它们的自旋轨道耦合能量也不同。处在3p中的电子由于具有角动量，所以它绕着原子核运动，若以电子为参考系，则是带正电荷的原子核绕着电子运动，这时运动的原子核等效成一个电流环，会在电子处产生磁场，由磁矩在外磁场中的势能公式Φ=-μ·B可知，自旋磁矩会与原子核产生的磁场相互作用，不同方向的自旋磁矩的能量不同，由上节课关于自旋磁矩在外磁场中的能级可知，此时的3p轨道能级会劈裂成两个能级，对应于两个相反的自旋取向。至于3s轨道，由于轨道角动量l=0，所以不会产生类似3p轨道的自旋轨道耦合效应，即3s轨道的不同自旋取向的能级一样，没有劈裂。
由于3p轨道实际上有两个不同的能级并且3s轨道仍只有一个能级，于是若更加仔细观察3p轨道跃迁到3s轨道的光谱线，会发现其实不只是一条黄线，而是两条相近非常近的黄线，分别对应3p轨道的两个不同取向的自旋电子到3s轨道的跃迁，这就是Na原子光谱的双线结构的由来。不过因为自旋轨道耦合效应不大，3s轨道能级劈裂很小，所以两条钠黄线非常相近，它们的波长分别为589nm以及589.6nm，只相差0.6nm。
（张朝阳介绍钠原子光谱双线结构的成因）
强磁场下的正常Zeeman效应
Na原子光谱的双线结构是由于自旋轨道耦合导致的能级劈裂效应，这是在无外磁场的情况下分析得到的结构，若加入强大的外磁场，磁场与轨道角动量的相互作用会远远大于自旋与轨道的相互作用，这时光谱的劈裂将以外磁场与轨道角动量耦合的相互作用为主。
在之前量子力学课程中，张朝阳已经求解过如下含有中心力场Φ的哈密顿量：

选择可对易守恒量完备集:

这些算符两两对易，能量本征态可以选为这些算符的共同本征态：

其中，l代表角动量量子数，m代表磁量子数，n_r代表关于径向的的量子数。
接下来考虑加入外磁场B的情况。根据先前关于磁矩的课程可知，电子轨道角动量对应的磁矩为（g=1）：

其中的负号代表负电荷。
设外磁场沿着z轴方向，进一步根据磁矩在外磁场B中的能量公式Φ=-μ·B可知，包含了磁矩与外磁场相互作用的完整哈密顿量为：

由于多出来的磁场项算符正比于角动量算符的z分量，恰好是可对易守恒量完备集中的算符，所以先前H0的本征态ψnlm同时是磁场项算符与H0算符的本征态，即是H的本征态。将完整哈密顿量H作用在ψnlm上：

其中，Enl是H0的能级。
由此可得包含外磁场相互作用的电子的轨道能级为：

可以发现，相比于没有外磁场的情况，有外磁场的轨道能级与磁量子数m有关，即原本2l+1重简并的能级分裂了。
同样以Na原子为例，最外层电子的3p轨道的轨道角动量l=1，分裂成三个等间距的能级m=-1，0，1 。但3s轨道的轨道角动量l=0，所以没有分裂。这样原本无外磁场情况下的从3p轨道跃迁到3s轨道的光谱线（钠黄线），在外磁场情况下分裂成了三条，外磁场B越大，分裂越大，这就Na原子光谱黄线在强磁场中的正常Zeeman效应。
值得注意的是，这里忽略了电子自旋与外磁场的相互作用，实际上电子自旋导致能谱分裂的效应与轨道磁矩量级相当，但由于电子跃迁的选择定则，在强磁场下自旋导致的能谱分裂不能反应到光谱上。
（张朝阳介绍正常Zeeman效应）
据了解，《张朝阳的物理课》于每周周五、周日中午12时在搜狐视频直播，网友可以在搜狐视频“关注流”中搜索“张朝阳”，观看直播及往期完整视频回放；关注“张朝阳的物理课”账号，查看课程中的“知识点”短视频。此外，还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上，阅览每期物理课程的详细文章。