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原标题:如何用经典力学计算抗磁矩?《张朝阳的物理课》介绍正常Zeeman效应
                          如何用经典力学计算抗磁矩?光谱分裂的原因有哪些?10月30日12时,《张朝阳的物理课》第九十七期开播,搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间,利用法拉第电磁感应定律定量地计算出抗磁矩的表达式,随后离开经典力学走向量子力学,先是简单复习了钠原子的核外电子排布,接着利用坐标系变换的方式引入自旋轨道耦合,阐明光谱双线结构的成因。之后考虑存在强磁场的情况,分析包含磁矩与外磁场相互作用的完整哈密顿量并求得其能级,根据能级的分裂解释正常Zeeman效应的原理。

法拉第电磁感应定律计算抗磁矩
在上节直播课程中,张朝阳利用法拉第电磁感应定律定性讲解了抗磁性的原理,这节课进一步定量地计算出感生抗磁矩。把原子中绕原子核运动的电子等效成电流,假设一开始电流与外磁场B都为0,在时间t=0~T内将匀强磁场B(t)从0增大到B,根据麦克斯韦方程组中关于电场旋度的方程(或法拉第电磁感应定律),变化的磁场会产生电场:

将上式对电流环包围的面积进行积分,并结合斯托克斯公式得到电场的在电流上的环路积分为:

设环路上的平均电场为E,那么上式最左边的项可写成:

由于电流环路是固定不动的,并且外磁场是空间上的匀强磁场B(t),所以可以将磁场变化率的面积分项写成:

利用电场的环路积分结果,与磁场变化率面积分的结果,可以得到平均电场E的表达式:

由库伦定律F=qE可知,原本静止的电子会因为受到电场力运动起来,设经过T时间后电子获得速度v,那么由冲量定理可以计算出T时刻的电子动量:

其中m是电子的质量。将上式两边除以电子质量得到速度v的表达式:

在之前的课程中已经求出运动的电子等效电流为I=qv/(2πr),那么对应的磁矩为:

将速度的具体表达式代入上述磁矩公式得到:

负号“-”代表感生磁矩方向与外磁场B的方向相反,体现出抗磁性。
上述分析只对某一平面的环形等效电流进行分析,设磁场B平行于z轴,那么等效电流环处在xy平面,r相当于柱坐标半径r,r^2可以用直角坐标写成:

如果考虑的是球对称原子,那么可以用球坐标半径R来表示抗磁矩,R^2可以用直角坐标写成:

由于考虑的是球对称性原子,那么将直角坐标进行平均可得:

所以可以将r^2的平均与R^2的平均有如下关系:

最终,抗磁矩的表达式可写成:

这里用的是纯粹经典的角度来分析的,得到的抗磁矩公式与用量子力学得到的结果一致。
(张朝阳利用法拉第定律计算抗磁矩)
自旋轨道耦合导致光谱双线结构
上节直播课程主要针对自旋磁矩产生的效应进行分析,而上面的计算则是针对轨道磁矩进行的,自旋磁矩与轨道磁矩看似相互独立,但实际上它们之间还存在一种神奇的相互作用,接下来会分析这种相互作用带来的物理现象。
在之前量子力学课程中,利用泡利不相容原理、洪特规则以及半径分析,钠(Na)原子的电子结构已经被定性地讲解过。钠原子有11个电子,第一壳层1s态填2个电子,第二壳层2s态填2个电子,2p态填6个电子,至此这10个电子将第一壳层与第二壳层完全填满,电子自旋两两配对,并且波函数具有球对称性,轨道角动量为零,所以第一第二壳层电子的总角动量为零,于是Na的总角动量由最外层电子的状态决定。
最外层电子处在第三壳层,由于壳层半径之间的距离较大,所以第三壳层的电子感受到的原子核的正电荷被内层电子强烈屏蔽,即它感受到的有效电荷量近似为1,于是可以用类似氢原子的方法进行处理,将Na的最外层电子轨道近似为氢原子第三壳层n=3的轨道,这时电子轨道的径向波函数具有如下形式:

其中,l是轨道角动量量子数,而这里n=3 。
对于3s轨道,角动量l=0,对应的径向波函数具有形式:

这个函数有三个波峰,其中两个波峰深入到第一壳层与第二壳层内。
对于3p轨道,角动量l=1,对应的径向波函数具有形式:

这个函数只有两个波峰,只有一个波峰嵌入到第一壳层与第二壳层内。
综上,相比3p轨道,3s轨道由于有更多的概率处在内层的未完全屏蔽区域,它所感受到的有效电荷要比3p轨道感受到的有效电荷更大,对应的能级就越低,所以原本在氢原子中简并的3s能级与3p能级在钠原子中变得不简并了,3p能级略微比3s能级更高。于是,当最外层电子从较高的3p能级跃迁到3s能级时,Na会发出黄光。
3s与3p轨道除了能级上的不同,它们的自旋轨道耦合能量也不同。处在3p中的电子由于具有角动量,所以它绕着原子核运动,若以电子为参考系,则是带正电荷的原子核绕着电子运动,这时运动的原子核等效成一个电流环,会在电子处产生磁场,由磁矩在外磁场中的势能公式Φ=-μ·B可知,自旋磁矩会与原子核产生的磁场相互作用,不同方向的自旋磁矩的能量不同,由上节课关于自旋磁矩在外磁场中的能级可知,此时的3p轨道能级会劈裂成两个能级,对应于两个相反的自旋取向。至于3s轨道,由于轨道角动量l=0,所以不会产生类似3p轨道的自旋轨道耦合效应,即3s轨道的不同自旋取向的能级一样,没有劈裂。
由于3p轨道实际上有两个不同的能级并且3s轨道仍只有一个能级,于是若更加仔细观察3p轨道跃迁到3s轨道的光谱线,会发现其实不只是一条黄线,而是两条相近非常近的黄线,分别对应3p轨道的两个不同取向的自旋电子到3s轨道的跃迁,这就是Na原子光谱的双线结构的由来。不过因为自旋轨道耦合效应不大,3s轨道能级劈裂很小,所以两条钠黄线非常相近,它们的波长分别为589nm以及589.6nm,只相差0.6nm。
(张朝阳介绍钠原子光谱双线结构的成因)
强磁场下的正常Zeeman效应
Na原子光谱的双线结构是由于自旋轨道耦合导致的能级劈裂效应,这是在无外磁场的情况下分析得到的结构,若加入强大的外磁场,磁场与轨道角动量的相互作用会远远大于自旋与轨道的相互作用,这时光谱的劈裂将以外磁场与轨道角动量耦合的相互作用为主。
在之前量子力学课程中,张朝阳已经求解过如下含有中心力场Φ的哈密顿量:

选择可对易守恒量完备集:

这些算符两两对易,能量本征态可以选为这些算符的共同本征态:

其中,l代表角动量量子数,m代表磁量子数,n_r代表关于径向的的量子数。
接下来考虑加入外磁场B的情况。根据先前关于磁矩的课程可知,电子轨道角动量对应的磁矩为(g=1):

其中的负号代表负电荷。
设外磁场沿着z轴方向,进一步根据磁矩在外磁场B中的能量公式Φ=-μ·B可知,包含了磁矩与外磁场相互作用的完整哈密顿量为:

由于多出来的磁场项算符正比于角动量算符的z分量,恰好是可对易守恒量完备集中的算符,所以先前H0的本征态ψnlm同时是磁场项算符与H0算符的本征态,即是H的本征态。将完整哈密顿量H作用在ψnlm上:

其中,Enl是H0的能级。
由此可得包含外磁场相互作用的电子的轨道能级为:

可以发现,相比于没有外磁场的情况,有外磁场的轨道能级与磁量子数m有关,即原本2l+1重简并的能级分裂了。
同样以Na原子为例,最外层电子的3p轨道的轨道角动量l=1,分裂成三个等间距的能级m=-1,0,1 。但3s轨道的轨道角动量l=0,所以没有分裂。这样原本无外磁场情况下的从3p轨道跃迁到3s轨道的光谱线(钠黄线),在外磁场情况下分裂成了三条,外磁场B越大,分裂越大,这就Na原子光谱黄线在强磁场中的正常Zeeman效应。
值得注意的是,这里忽略了电子自旋与外磁场的相互作用,实际上电子自旋导致能谱分裂的效应与轨道磁矩量级相当,但由于电子跃迁的选择定则,在强磁场下自旋导致的能谱分裂不能反应到光谱上。
(张朝阳介绍正常Zeeman效应)
据了解,《张朝阳的物理课》于每周周五、周日中午12时在搜狐视频直播,网友可以在搜狐视频“关注流”中搜索“张朝阳”,观看直播及往期完整视频回放;关注“张朝阳的物理课”账号,查看课程中的“知识点”短视频。此外,还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上,阅览每期物理课程的详细文章。

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